Ich kann dir Audials empfehlen, das ist zwar keine Webseite, sondern ein Tool, aber es ist auch kostenlos (die Demo Version reicht, und die ist unbegrenzt lauffähig) und man hat da sehr viele Möglichkeiten (es können Videos nicht nur von YouTube, sondern auch von anderen Seiten runtergeladen werden und man kann aus vielen Audio und Video Formaten zur Konvertierung wählen).

http://audials.com/de/anleitungzuraufnahmevonmusikvideosundfilmenvon/youtube.html