Hallo,

die Antwort von Avita beantwortet schon den größten Teil deiner Frage sehr präzise.
Die "öffentliche" IP-Adresse deines DSL-Routers ändert sich in Deutschland im Normalfall täglich.
Deine öffentliche IP-Adresse ist die Adresse, die dir dein Internetprovider zur Verfügung stellt und mit dem dein Router (nicht dein PC!) im Internet erreichbar ist.

Dein Computer selbst bekommt von deinem Router dann eine "Heimnetzwerk"-interne IP-Adresse zugewiesen. Dies funktioniert über das sogenannte Dynamic Host Configuration Protocol - geläufiger ist hier die Kurzform DHCP. Das DHCP ist bei deinem Router vorkonfiguriert und vergibt Adressen aus einem festgelegtem Bereich an Endgeräte wie Laptops oder Handys.

Hier ein kurzes Beispiel:

Dein Router bekommt von deinem Internetanbieter die öffentliche IP-Adresse 80.140.99.22 für 24 Stunden, oder bis zum nächstem Routerneustart.

Diese IP-Adresse hat er aber nur im Internet, nicht in deinem Heimnetzwerk.

In deinem Heimnetzwerk hat dein Router, auch Standard-Gateway genannt, eine statische IP-Adresse. Statisch bedeutet, dass er sie nicht (selbst) ändert.

Das ist zum Beispiel die IP-Adresse 192.168.178.1.

Wenn du deinen Computer anschaltest und ins Internet möchtest stellt dein Computer eine DHCP Anfrage (über den Broadcast) an alle Geräte die sich in deinem Netzwerk befinden. Hierauf antwortet dann dein Router und tauscht Informationen mit deinem Computer aus (DORA-Prinzip). Wenn sich dann beide auf eine IP-Adresse geeinigt haben bekommt dein Computer eine (Heimnetzwerk)interne IP-Adresse zugewiesen.

In unserem Beispiel wäre das möglicherweise die IP-Adresse 192.168.178.10.

Diese interne IP-Adresse behält dein Computer dann für einen gewissen Zeitraum - das können je nach DHCP-Konfiguration zum Beispiel 2 Stunden oder auch 8 Tage sein. (Leasetime)

Um zu deiner Frage zurück zu kommen:

Wenn du deinen Laptop/Computer aus- und wiedereinschaltest, dann bekommst du höchstens eine neue interne IP-Adresse zugewiesen. Dies geschiet zum Beispiel wenn zwischen dem aus- und einschalten eine längere Zeit liegt und die Leasetime abgelaufen ist. Wenn Sie nicht abgelaufen ist, also zum Beispiel die 8 Tage noch nicht vorbei sind, bekommst du wieder die gleiche interne IP-Adresse von deinem Router.

Also wieder die 192.168.178.10

Die öffentliche IP-Adresse deines Routers ändert sich dadurch aber nicht.

Zum Verständnis:

Dein Router ist gleichzeitig in zwei verschiedenen "Netzwerken" - im Internet und in deinem Heimnetzwerk.
Wenn du jetzt mit deinem Computer eine Anfrage ins Internet stellst, "routet" dein Router diese Anfrage aus deinem Heimnetzwerk ins Internet und die Antwort, zum Beispiel von www.tagesschau.de, routet er dann wieder an deinen Computer zurück.

Das bietet dir als Endnutzer natürlich einen großen Schutz weil dein Router auch nur Antworten auf deinen Computer zulässt die du zuvor gestellt hast. Es ist also ohne weiteres nicht möglich deinen Computer selbst aus dem Internet zu erreichen - hier muss man zuerst an deinem Router "vorbei" bzw. das in deinem Router konfigurieren. (Stichwort NAT, PAT und Port Forwarding)

Das ganze ist fachlich natürlich etwas komplizierter aber ich hoffe, dass ich dir hiermit einen ungefähren Einblick in die Materie geben konnte.